Torneo de Tenis
Solución:
SOLUCIÓN INTUITIVAEl número de posibles emparejamientos es Cn,2. En un partido cualquiera de una ronda cualquiera deberá jugar una pareja, la probabilidad de que esta pareja sea la que nos interesa es 1/Cn,2.
El número de partidos que se juegan en el torneo es n-1, ya que en cada partido un jugador es eliminado y al final sólo queda el ganador. La pareja que nos interesa podrá encontrarse en cualquiera de esos partidos, luego la probabilidad pedida es (n-1)/Cn,2 = 2/n.
SOLUCIÓN FORMAL
Supongamos que la solución es pn=2/n y procedamos por inducción.
Llamamos A y B a los jugadores que componen la pareja. Para el caso de n=2 es trivial que se cumple.
Supongamos que se cumple hasta n y veamos que esto implica que se cumple para n+1. Distinguimos el caso de que n+1 sea par o impar.
Si n+1 es par todos los participantes juegan en la ronda inicial. El jugador A puede quedar emparejado con n rivales. La probabilidad de que el rival de A sea B es 1/n. En el caso de que no se enfrenten en la primera ronda, la probabilidad de que los dos pasen a la segunda ronda es 1/4 y el número de jugadores que quedan es (n+1)/2; la probabilidad de que se encuentren a partir de aquí es p(n+1)/2 = 2/[(n+1)/2]=4/(n+1).
Obtenemos que pn+1 = 1/n + (n-1)/n * 1/4 * 4/(n+1) = 2/(n+1).
Si n+1 es impar hay un jugador que libra en la primera ronda. La probabilidad de que A ó B libren es 2/(n+1), en este caso la probabilidad de que el otro pase a la segunda ronda es de 1/2, el número de jugadores para la segunda ronda es 1+n/2, y la probabilidad de que se encuentren a partir de ahí es p(n+2)/2 = 4/(n+2).
La probabilidad de que ni A ni B libren en la primera ronda es (n-1)/(n+1). A puede quedar emparejado con n-1 rivales (todos los demás menos el que libre). La probabilidad de que este rival sea B es 1/(n-1). La probabilidad de que ese rival no sea B es (n-2)/(n-1). Es este caso la probabilidad de que ambos pasen a la segunda ronda es 1/4 y quedarán para esa ronda 1+n/2 jugadores.
Obtenemos que:
pn+1=2/(n+1) * 1/2 * 4/(n+2) + (n-1)/(n+1) * [1/(n-1) + (n-2)/(n-1) * 1/4 * 4/(n+2)] =2/(n+1)
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