El Director de una escuela y el problema de las puertas
Solución:
Quedarán abiertos 15 casilleros. Y estos son los cuadrados perfectos:1, 4, 9, 16, 25, 36, 49,...,225
Estos tiene un número impar de divisores ya que al dividir un cuadrado perfecto entre su raíz no obtenemos otro divisor.
Los demás números son divisibles por un número par de factores, y por lo tanto, el casillero acabará cerrado.
Ejemplos: 12 entre 3 da 4 y entre 4 da 3, pero también es divisible por 2 y 6. Estos divisores siempre van acompañados. 25 entre 5 da 5 así que este divisor va solo.
Explicación algebraica
Dado un número descompuesto en sus factores primos:
N = aa bb cg ... ll
se demuestra que el número total de sus divisores (incluyendo 1 y el propio N) es: Div(N) = (a+1)(b+1)(g+1)...(l+1)
Este valor sólo puede ser impar si lo son todos los términos entre paréntesis, o sea si a, b, g,...l son pares. Es decir, si N es un cuadrado perfecto. Por tanto, quedarán cerradas las puertas 1, 4, 9, 16,...
Se agradece mucho la correción que hizo a esta respuesta Ricardo Flores, fzricardo(arroba)gmail.com que colabora con el fin de que este sitio tenga los mejores acertijos y las mejores respuestas. Gracias Ricardo.
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